$ \color{blue}{ 864x^{3}+2592x^{2}+414x-47898 } $ is a polynomial of degree 3. To find zeros for polynomials of degree 3 or higher we use Rational Root Test.

The Rational Root Theorem tells you that if the polynomial has a rational zero then it must be a fraction $ \dfrac{p}{q} $, where p is a factor of the trailing constant and q is a factor of the leading coefficient.

The factors of the leading coefficient ( 864 ) are 1 2 3 4 6 8 9 12 16 18 24 27 32 36 48 54 72 96 108 144 216 288 432 864 .The factors of the constant term (-47898) are 1 2 3 6 9 18 27 54 887 1774 2661 5322 7983 15966 23949 47898 . Then the Rational Roots Tests yields the following possible solutions:

$$ \pm \frac{ 1 }{ 1 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 2 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 3 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 4 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 6 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 8 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 9 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 12 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 16 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 18 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 24 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 27 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 32 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 36 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 48 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 54 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 72 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 96 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 108 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 144 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 216 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 288 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 432 } , ~ \pm \frac{ 1 }{ 864 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 1 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 2 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 3 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 4 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 6 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 8 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 9 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 12 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 16 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 18 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 24 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 27 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 32 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 36 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 48 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 54 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 72 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 96 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 108 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 144 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 216 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 288 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 432 } , ~ \pm \frac{ 2 }{ 864 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 1 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 2 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 3 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 4 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 6 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 8 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 9 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 12 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 16 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 18 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 24 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 27 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 32 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 36 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 48 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 54 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 72 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 96 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 108 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 144 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 216 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 288 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 432 } , ~ \pm \frac{ 3 }{ 864 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 1 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 2 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 3 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 4 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 6 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 8 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 9 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 12 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 16 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 18 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 24 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 27 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 32 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 36 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 48 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 54 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 72 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 96 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 108 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 144 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 216 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 288 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 432 } , ~ \pm \frac{ 6 }{ 864 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 1 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 2 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 3 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 4 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 6 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 8 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 9 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 12 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 16 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 18 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 24 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 27 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 32 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 36 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 48 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 54 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 72 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 96 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 108 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 144 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 216 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 288 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 432 } , ~ \pm \frac{ 9 }{ 864 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 1 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 2 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 3 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 4 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 6 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 8 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 9 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 12 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 16 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 18 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 24 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 27 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 32 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 36 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 48 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 54 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 72 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 96 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 108 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 144 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 216 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 288 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 432 } , ~ \pm \frac{ 18 }{ 864 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 1 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 2 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 3 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 4 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 6 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 8 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 9 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 12 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 16 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 18 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 24 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 27 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 32 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 36 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 48 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 54 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 72 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 96 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 108 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 144 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 216 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 288 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 432 } , ~ \pm \frac{ 27 }{ 864 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 1 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 2 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 3 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 4 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 6 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 8 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 9 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 12 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 16 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 18 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 24 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 27 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 32 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 36 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 48 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 54 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 72 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 96 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 108 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 144 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 216 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 288 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 432 } , ~ \pm \frac{ 54 }{ 864 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 1 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 2 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 3 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 4 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 6 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 8 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 9 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 12 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 16 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 18 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 24 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 27 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 32 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 36 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 48 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 54 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 72 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 96 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 108 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 144 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 216 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 288 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 432 } , ~ \pm \frac{ 887 }{ 864 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 1 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 2 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 3 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 4 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 6 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 8 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 9 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 12 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 16 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 18 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 24 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 27 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 32 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 36 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 48 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 54 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 72 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 96 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 108 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 144 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 216 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 288 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 432 } , ~ \pm \frac{ 1774 }{ 864 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 1 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 2 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 3 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 4 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 6 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 8 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 9 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 12 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 16 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 18 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 24 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 27 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 32 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 36 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 48 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 54 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 72 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 96 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 108 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 144 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 216 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 288 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 432 } , ~ \pm \frac{ 2661 }{ 864 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 1 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 2 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 3 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 4 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 6 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 8 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 9 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 12 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 16 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 18 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 24 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 27 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 32 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 36 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 48 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 54 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 72 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 96 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 108 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 144 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 216 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 288 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 432 } , ~ \pm \frac{ 5322 }{ 864 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 1 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 2 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 3 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 4 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 6 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 8 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 9 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 12 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 16 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 18 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 24 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 27 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 32 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 36 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 48 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 54 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 72 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 96 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 108 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 144 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 216 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 288 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 432 } , ~ \pm \frac{ 7983 }{ 864 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 1 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 2 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 3 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 4 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 6 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 8 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 9 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 12 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 16 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 18 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 24 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 27 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 32 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 36 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 48 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 54 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 72 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 96 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 108 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 144 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 216 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 288 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 432 } , ~ \pm \frac{ 15966 }{ 864 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 1 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 2 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 3 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 4 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 6 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 8 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 9 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 12 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 16 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 18 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 24 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 27 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 32 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 36 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 48 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 54 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 72 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 96 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 108 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 144 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 216 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 288 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 432 } , ~ \pm \frac{ 23949 }{ 864 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 1 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 2 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 3 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 4 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 6 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 8 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 9 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 12 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 16 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 18 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 24 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 27 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 32 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 36 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 48 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 54 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 72 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 96 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 108 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 144 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 216 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 288 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 432 } , ~ \pm \frac{ 47898 }{ 864 } ~ $$

Substitute the POSSIBLE roots one by one into the polynomial to find the actual roots. Start first with the whole numbers.

If we plug these values into the polynomial $ P(x) $, we obtain $ P(3) = 0 $.

To find remaining zeros we use Factor Theorem. This theorem states that if $\frac{p}{q}$ is root of the polynomial then this polynomial can be divided with $ \color{blue}{q x - p} $. In this example:

Divide $ P(x) $ with $ \color{blue}{x - 3} $

$$ \frac{ 864x^{3}+2592x^{2}+414x-47898 }{ \color{blue}{ x - 3 } } = 864x^{2}+5184x+15966 $$

Polynomial $ 864x^{2}+5184x+15966 $ can be used to find the remaining roots.

$ \color{blue}{ 864x^{2}+5184x+15966 } $ is a second degree polynomial. For a detailed answer how to find its roots you can use step-by-step quadratic equation solver.

Polynomial Equations Solver